Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier 2x + y ≤ 6, dengan x dan y anggota real.
Jawab
Pertama kita lukis garis 2x + y = 6 dengan bantuan tabel.

Selanjutnya diambil satu titik sembarang sebagai titik uji, misalnya O(0, 0), sehingga diperoleh 2(0) + 0 = 0 ≤ 6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah daerah bagian kiri bawah garis 2x + y = 6.

Jika beberapa pertidaksamaan linier bergabung dalam satu sistem, maka bentuk tersebut dinamakan sistem pertidaksamaan linier, dimana himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan linier.

Untuk pemahaman lebih lanjut akan diuraikan pada contoh soal berikut ini

02. Tentukanlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier :
2x + 3y ≤ 12 , x ≥ 1 , y ≥ 1

Jawab
Pertama akan dilukis garis 2x + 3y = 6, garis x= 1 dan garis y = 1 ke dalam satu tatanan koordinat Cartesius

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah segitiga yang bebas dari arsiran

02. Tentukanlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier ;
2x + y ≤ 8 , 4x + 5y ≤ 20 , x  ≥ 0 , y ≥ 0
Jawab
Pertama akan dilukis garis 2x + y = 8 dan garis 4x + 5y = 20 ke dalam satu tatanan koordinat Cartesius

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah segiempat yang bebas dari arsiran

03. Tentukanlah sistem pertidaksamaan untuk dearah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan pada gambar di atas, harus ditentukan terlebih dahulu persamaan garis lurus yang menjadi batas-batas daerahnya, yakni dengan menggunakan rumus :

Sehingga sistem pertidaksamaan linier untuk gambar di atas adalah :

3x + 2y ≤ 12

x + 2y ≤ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

Catatan : Jika kedua titik yang terletak pada garis lurus tersebut, diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y,

04. Tentukanlah sistem pertidaksamaan untuk dearah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

Jawab
Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (0, 3) adalah

Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (0, -2) adalah

Sehingga sistem pertidaksamaan linier untuk gambar di atas adalah :
3x + 4y ≤ 12
x – 2y ≤ 4
x ≥ 0

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali masalah-masalah yang penyelesaiannya menggunakan sistem pertidaksamaan linier ini. Proses menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linier ini dinamakan Program Linier. Tentu saja, tahap awal proses ini adalah mengubah informasi informasi dalam soal cerita menjadi suatu sistem pertidaksamaan linier. Tahap ini dinamakan tahap menyusun model matemetika. Setelah itu digambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier yang telah diperoleh.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini.

05. Suatu jenis makanan ternak membutuhkan 5 kg daging dan 3 kg tepung. Makanan ternak jenis lain membutuhkan 6 kg daging dan 8 kg tepung. Jika tersedia daging 60 kg dan tepung 48 kg, sedangkan bahan yang lain cukup tersedia, maka Gambarlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan liniernya.
Jawab
Misalkan
x = banyaknya makanan ternak jenis pertama
y = banyaknya makanan ternak jenis kedua
maka model matemaikanya dapat ditentukan dengan bantuan tabel

Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan liniernya, yakni :
5x + 6y ≤ 60
3x + 8y ≤ 48
x ≥ 0
y ≥ 0
Selanjutnya digambar daerah penyelesaiannya ke dalam koordinat Cartesius

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah segiempat yang bebas dari arsiran.

09. Seorang pedagang mainan ingin membeli mainan untuk persediaan di tokonya maksimum 100 paket. Mainan yang akan dibeli adalah jenis A dengan harga Rp 6.000 perpaket dan jenis B seharga Rp. 8.000 perpaket. Uang yang tersedia untuk modal adalah Rp. 720.000. Gambarlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan liniernya agar keuntungannya makasimum
Jawab
Misalkan x = banyaknya mainan jenis A
y = banyaknya mainan jenis B
maka sistem pertidaksamaannya dapat ditentukan sebagai berikut :
x + y ≤ 100 .................................... x + y ≤ 100
6000x + 8000y ≤ 720000 ...............3x + 4y ≤ 360
x ≥ 0
y ≥ 0
Selanjutnya digambar daerah penyelesaiannya ke dalam koordinat Cartesius